Taller para fabricar figuras geométricas

Figuras geométricas tridimensionales

Las figuras geométricas recortables te permiten crear figuras tridimensionales a partir de imprimir, recortar y colorear las diferentes formas geométricas planas.

Sólidos geométricos

Geometría sólida

La Geometría sólida es la geometría del espacio tridimensional, el tipo de espacio donde vivimos...

Tres dimensiones

Se llama tridimensional, o 3D porque hay tres dimensiones: longitud, profundidad yaltura.

Hay dos tipos principales de sólidos, "poliedros" y "no poliedros":

Poliedros

Un poliedro es un sólido que tiene todas las caras planas. Ejemplos:

	Sólidos platónicos
	Prismas
	Pirámides

No poliedros

Algunos sólidos tienen superficies curvas (todas o sólo algunas) así que no son poliedros. Ejemplos:

	Esfera		Toro
	Cilindro		Cono

Propiedades

Los sólidos tienen propiedades (cosas que los hacen especiales), como:

• volumen (piensa en cuánta agua cabría dentro)
• área de la superficie (piensa en cuánta pintura necesitas para pintarlo)

MUJERES MATEMÁTICAS

Las mujeres también han tenido a lo largo de la historia muchas y serias dificultades para introducirse en el mundo de la ciencia y en concreto en el de las matemáticas. Aquí recogemos algunos ejemplos donde queremos reflejar su esfuerzo y sus aportaciones.

Ellas lucharon por sus ideales, hasta alcanzar sus metas y propósitos, obteniendo al fin plazas para distintas universidades, en las cuales hicieron grandes descubrimientos, muchos de ellos muy importantes.

TEANO (s. VI aC)

El marco histórico en el que nos situamos para estudiar la vida de Teano es el de la antigua Grecia.

Durante el periodo de la Grecia clásica se edificó una matemática original y brillante y se tomaron algunos elementos de civilizaciones vecinas que construyeron quienes les precedieron tanto en Babilonia como en Egipto.

Por lo que sabemos hoy el tipo de conocimientos que nos revelan los papiros egipcios es de carácter eminentemente práctico, y tratan sobre cuestiones de cálculo aritmético y mediciones geométricas.

Tales, Pitágoras y Teano aparecen en el siglo VI antes de nuestra era. Son figuras indefinidas históricamente, ya que no ha quedado ninguna obra matemática suya y ni siquiera existe constancia de que las escribieran.

A Tales se le considera el primer matemático, a Pitágoras el padre de la matemática y a Teano la primera mujer matemática.

Pitágoras(572-497 a.n.e.) fue filósofo, astrónomo y matemático, fundó la escuela pitagórica, orden de tipo comunal y secreto, donde se daba una gran importancia a la educación tanto en hombres como mujeres. El lema de la escuela fue "todo es número" pues que en la Naturaleza todo podía explicarse mediante números.

Teano nació en Crotona, fue discípula de Pitágoras y se casó con él. Enseñó en la escuela pitagórica. Se conservan fragmentos de cartas y escritos que prueban que fue una mujer que escribió mucho, y eso mismo le atribuye la tradición, , que considera como suyos varios tratados de matemáticas, física y medicina. El tratado Sobre la Piedad del que se conserva un fragmento con una reflexión sobre el número se piensa que es de Teano. Se le atribuyen otros tratados sobre los poliedros regulares y sobre la teoría de la proporción, en particular sobre la proporción aurea.

Después de la rebelión contra el gobierno de Crotona, a la muerte de Pitágoras,  Teano pasó a dirigir la comunidad, con la escuela destruida y sus miembros exiliados y dispersos, sin embargo con la ayuda de dos de sus hijas difundió los conocimientos matemáticos y filosóficos por Grecia y por Egipto.

HIPATIA DE ALEJANDRÍA (370-415)

Nació en Alejandría, su padre era matemático y profesor de museo y se preocupó de darle una buena formación y lo consiguió pues Hipatia fue una filósofa, astrónoma y matemática que llegó a superar a su padre.

Contribuyó a la invención de aparatos como el aerómetro y construyó el astrolabio. 

Era defensora del heliocentrismo (teoría que defiende que la tierra gira alrededor del sol).

Trabajó sobre escritos relacionados con las ecuaciones diofánticas, sobre las cónicas y la geometría y también elaboró tablas sobre movimientos de los astros.

Estudió en el museo y después viajó por Italia y Atenas donde perfeccionó sus conocimientos, y cuando volvió a Alejandría fue profesora durante 20 años. Enseñó matemáticas, astronomía, lógica, filosofía, mecánica... de todas partes del mundo llegaban estudiantes para aprender de ella.

Hipatia era el símbolo del ideal griego porque reunía sabiduría, belleza, razón y pensamiento filosófico y además era una mujer científica y con papel político importante. En el año 415 cuando tenia 45 años fue asesinada por monjes fanáticos de la iglesia de San Cirilo de Jerusalén ya que ella era partidaria del racionalismo científico griego y no quiso convertirse al cristianismo.

ÉMILIE DE CHÂTELET (1706-1749)

Émilie de Breteuil, Marquesa de Châtelet nació en el seno de una familia ilustre el 17 de diciembre de 1706 en Saint-Jean-en-Greve. Su abuelo paterno ocupó el cargo de consejero de estado y su padre, el barón de Breteuil, gozó de la confianza de el rey Luis XIV. Tuvo seis hermanos, aunque sólo sobrevivieron tres, ella fue la quinta.

Se casó con Florent Claude, marqués de Châtelet. Cuando ella se casó tenía 19 años y él era un hombre experimentado de 30, su hija nació el 30 de junio de 1726. Al año siguiente tuvo a Florent Louis Marie y su tercer hijo murió unos días después de que naciese. Después tuvo relaciones amorosas con otros hombres.

Con diez años ya había estudiado matemáticas y la metafísica; a los 12 sabía inglés, italiano, español y alemán y traducía textos en latín. En un café de París no la dejaron entrar por ser mujer. Estudió a Descartes, Leibniz y a Newton. Escribió las instituciones de la física, libro que contiene el cálculo infinitesimal. Hacia 1745 tradujo los principios de la matemática de Newton. Después de quedarse embarazada terminó la edición de la Principia.

MARÍA GAETANA AGNESI (1718-1799)

Nació en Milán (Italia) un 16 de mayo de 1718. Hija de Pietro Agnesi y Anna Brivio, es la mayor de 6 hermanos (4 hermanas y 2 hermanos). Desde pequeña conoció  a gente muy inteligente y preparada: profesores universitarios, científicos, filósofos... , ya que su padre daba grandes fiestas y les invitaba. Sus padres la presentaban a sus importantes  invitados como una niña prodigio y algunos de ellos instruyeron a María en diversos temas y ciencias.

 En la adolescencia cayó enferma y tuvo que dejar de estudiar. Apenas recuperada de su enfermedad murió su madre. En 1734 su padre se volvió a casar con Marianna Pezzi, tuvieron 2 hijos y ésta se murió. De nuevo su padre se volvió a casar con Antonia Bonatti de la que tuvo 11 hijos.

 María siguió estudiando y en 1738 le publicaron Propositiones philosophicae que abordaba los problemas de filosofía natural que habitualmente se discutían en los salones. Después escribió el libro Instituciones analíticas al uso de la juventud italiana en el que explicaba una parte novedosa de las matemáticas: el calculo analítico. El libro tuvo muy buena crítica.

Se dedicó en profundidad al estudio del álgebra y la geometría y nueve años más tarde aparecieron publicadas las Instituzioni Analitiche, sin duda la obra más importante de toda su carrera como matemática. Fue editado en varios idiomas y se utilizó como manual universitario en las universidades de distintos países, siendo aún cincuenta años más tarde el texto matemático más completo. Se encargó en Italia de los cursos de su padre, convirtiéndose así en la primera mujer de la historia que había dado clase de matemáticas en la universidad.

A la muerte de su padre, dos años después, renunció completamente a las matemáticas e ingreso en una orden religiosa en Milán, consagrando sus esfuerzos a la teología, a socorrer a los pobres e indigentes y a educar a sus hermanos y hermanas. Murió el 9 de enero de 1799.

CAROLINA HERSCHEL (1750-1848)

Nació en Hanover en una familia numerosa de músicos, pero no recibió una educación formal, ya que su madre pensaba que solo debía recibir la formación suficiente para ser una buena ama de casa y cuidar de sus hermanos y hermanas. Dos de sus hermanos, William y Alexander, eran músicos en Inglaterra y cuando Carolina tenía 22 años se fue con ellos para estudiar canto. Aunque tuvo éxito como soprano, la educación que había recibido la había hecho tan dependiente que sólo cantaba cuando la dirigía su hermano William. Cuando éste dejó la música para dedicarse a la astronomía, (fue nombrado astrónomo del rey) ella también dejó de cantar, y así comenzó su carrera científica como ayudante de su hermano, a partir de las lecciones que éste le daba, hasta que poco a poco se fue formando a sí misma. Trabajaba duramente, por la noche observaba estrellas y de día realizaba los cálculos matemáticos y escribía los trabajos científicos. También ayudó a su hermano a construir telescopios más grandes y más potentes que permitieran estudiar astros más lejanos que la luna y los planetas.

Cuando Carolina tenía 32 años su hermano le regaló un pequeño telescopio, "el barredor de cometas" que le permitió realizar un trabajo independiente cuando él no estaba. En el verano de 1786, Carolina tenía ya un pequeño observatorio propio.

Cuando Carolina tenía treinta y siete años el rey Jorge III le asignó un salario como asistente de su hermano, lo que le proporcionó cierta independencia económica. Un año más tarde su hermano se casó y dejaron de vivir en la misma casa.

Fueron sus años más productivos porque,  liberada de las tareas domésticas,  pudo dedicarse plenamente a la astronomía y se convirtió en una celebridad científica. Colaboró con su hermano en el descubrimiento de mil estrellas dobles, demostrando que muchas eran sistemas binarios, lo que suponía la primera prueba de la existencia de la gravedad fuera del sistema solar. A los 58 años tuvo que cuidar de su hermano Dietrich durante cuatro años. Por primera vez empezó a tener conflicto entre su educación, que le imponía un cuidado abnegado hacia sus hermanos, y sus estudios de astronomía que ocupaban parte del tiempo que tenía que dedicar a dormir. Cuando murió su hermano William, Carolina dejó Inglaterra y volvió a Hannover. Recibió la Medalla de Oro de la Real Sociedad de Astronomía y la nombraron miembro honorario de la sociedad. La nombraron miembro de la Real Academia Irlandesa y el rey de Prusia le concedió la Medalla de Oro de las Ciencias. Murió con 97 años y a pesar de que durante una gran parte de su vida fue la ayudante de su hermano, y que por su falta de autoestima y los prejuicios que en esta época había hacia las mujeres, sólo al final de su vida fue reconocido su trabajo, ha sido sin duda la mujer que más ha contribuido al avance de la astronomía de todos los tiempos.

 SOPHIE GERMAIN (1776-1831)

Marie-Shopie Germain nació en una familia burguesa de París en 1776. De niña se refugiaba del hervidero revolucionario de las calles en la biblioteca de su padre. Ahí, a los trece años, fue donde descubrió las matemáticas. A pesar de los intentos de su familia por desalentar esos intereses, pasó los años del Terror (1793-94) aprendiendo sola cálculo diferencial. Cuando se abrió en 1795 le École Polytechnique, Sophie consiguió las notas del curso de química de Fourcroy y del curso de análisis de Lagrange. Al final del período lectivo, presentó un trabajo a Joseph Lagrange, firmado con el nombre de LeBlanc. El trabajo impresionó mucho a Langrange y al conocer el nombre de su verdadera autora, fue a felicitarla. Inspirada por la disertación de Karl Gauss sobre la teoría de los números, Sophie empezó a estudiar sola esta rama de la aritmética superior. En 1804 le escribió a Gauss, usando una vez mas el nombre de LeBlanc. La respuesta de este fue alentadora, y Sophie le envió otros ejemplos de su trabajo. Pero Gauss estaba tan ocupado con su trabajo que solo le contestaba cuando el trabajo se relacionaba con sus propios teoremas.

MARY SOMERVILLE (1780-1872)

Mary nació en Escocia el 26 de Diciembre en 1780. Pasó su infancia en el campo, en contacto con la naturaleza lo que estimuló su carácter observador, pero sin una formación básica, de manera que a los diez años apenas sabía leer. Un primer encuentro interesante en su vida sucedió cuando tenía trece años. Conoció al Dr. Somerville, quien al percibir los deseos de Mary por aprender, le muestra las historias de las mujeres sabias de la antigüedad, y la anima a aprender latín y a leer a Virgilio. Sus primeras experiencias de resolución de problemas consisten en solucionar los pasatiempos matemáticos de las revistas femeninas. El Dr. Somerville, viendo el enorme interés que ella tenía por las Matemáticas, accedió a comprarle libros científicos, y le ayudó a leerlos y a resolver los problemas del primer libro de Euclides. A los 24 años se casa con Samuel Greig, un hombre sin ningún conocimiento científico al que no le gustan las mujeres sabias. Tres años después, muere su marido y ella se encuentra viuda, con dos hijos, viviendo en Londres y con una independencia económica que sabe aprovechar para conducir su vida hacia su verdadera pasión: las matemáticas. 

Su primo William Somerville se convierte en su segundo marido. Es médico y comparte su interés por la ciencia. Su matrimonio puede considerarse duradero y feliz. William era un hombre inteligente pero de poca ambición personal. Mary conoce a Ada Lovelace y le anima a estudiar matemáticas siendo su mentora.

Comenzó a publicar sus propios trabajos. Su primer trabajo fue Disertación Preliminar. Este trabajo fue reimpreso posteriormente y se difundió por separado, dado su interés. Su siguiente publicación fue Sobre la conexión de las ciencias físicas. Tras una etapa en Italia, por motivos de salud de su esposo, sin abandonar sus estudios, publica Physical Geography y se hicieron de él siete ediciones. Sufre una fuerte depresión tras la muerte sucesiva de su marido y uno de sus hijos. Vive entonces en Nápoles y con 85 años comienza a escribir su cuarto libro On Molecular and Mycroscopic Science y revisa su libro On the theory of differences. A los 89 años escribe su autobiografía y sigue estudiando matemáticas aun con 92 años. Cuando le sorprende la muerte estaba investigando sobre cuaterniones. Quienes tuvieron la suerte de conocerla no dudaron en llamarla "la reina de las ciencias del siglo XIX"

ADA LOVELACE (1815-1852)

La corta vida de Ada Lovelace transcurrió en la primera mitad del siglo XIX, bajo el influjo de las ideas clásicas de la sociedad victoriana muy arraigadas en la alta clase social a la que pertenecía, pero impregnado al tiempo del ideal romántico que hombres como su padre llevaron a cabo hasta las ultimas consecuencias. Este hecho privó a Ada, tal vez, del disfrute de los momentos más apasionantes del siglo.

El saber científico ya no era una referencia de prestigio social sino la manera de no quedarse al margen del progreso, auténtica fuente de riqueza y, por ende, de poder.

Esta actitud tan abierta hacia la formación científica hizo posible que las mujeres de elevada posición social pudieran dedicarse al estudio, consiguiendo gran notoriedad y siendo reconocidas por sus contemporáneos.

Las mujeres estaban aún lejos de conseguir un trato igualitario. Sin embargo, comenzaban a convivir con el progreso desde un protagonismo nuevo. Las obreras de las fábricas percibían a diario la desigualdad salarial.

En este clima todavía incipiente de cambio, de confusión y de esperanza, nace Ada Lovelace. Su vida está marcada por dos factores: la personalidad estricta y puritana de su madre y el ambiente culto y refinado del que formó parte. Ada vivió prácticamente  toda la vida condicionada por los dictados de su madre, Ana Isabel Milbanke, cuyo matrimonio con Lord Byron apenas duró un año, se separaron al mes del nacimiento de Ada, apenas conoció a su hija pero le dedicaba bellos poemas, y al parecer sus últimas palabras fueron para ella.

Lady Byron , a quién su fugaz marido llamó "su princesa del paralelogramo", era una mujer con notable formación en matemáticas y astronomía. Esto posibilitó que Ada fuera educada en esas disciplinas por los mejores tutores conocidos de Londres. Desde la infancia manifestó una salud precaria. Sus piernas se quedaron paralizadas durante varios años, pero con su fuerza consiguió vencer la enfermedad, hasta el punto de convertirse en una espléndida amazona.

Con 17 años conoció a Charles Babbage, y tanto ella como su madre quedaron impresionadas por su Máquina de diferencias finitas, que deseaba generalizar en una máquina analítica o computadora general.

Años más tarde se caso con el Honorable William King. Era un hombre amable pero débil, de menor nivel intelectual que ella, el sucesivo nacimiento de sus tres hijos impidió a Ada seguir con sus estudios. A los tres meses de tener a su tercer hijo decidió restablecer el contacto con Babbage, rogándole que le proporcionara un profesor con quien aprender matemáticas. Poco después enfermó y, siguiendo la práctica médica habitual, se le realizaron sangrías y se le suministró morfina y opio. No llegó a reponerse y se le detectó un cáncer en estado avanzado que le producía tremendos dolores, la madre de Ada ordenó suministrarle mesmerismos en lugar de opiáceos.

Ada murió a la edad de 36 años. Babbage continuó intentado la construcción de su máquina analítica pero desistió del proyecto tras numerosos fallos. Ambos fueron olvidados casi completamente hasta que los ordenadores fueron reinventados durante la segunda guerra mundial.

KOVALEVSKAYA (1850-1888)

Nació en Moscú, el 15 de enero del año 1850. Vivió su infancia en Pabilino, Bielorrusia.

Sonia amaba desde niña la lectura y la poesía, se sentía poeta en su interior. Durante su niñez, además de su hermana, dos de sus tíos influyeron notablemente en su vida. Uno de ellos, un auténtico amante de la lectura y aunque no era matemático le apasionaba esta ciencia; su otro tío le enseñaba ciencias y biología.

A los trece años empezó a mostrar muy buenas cualidades para el álgebra pero su padre, a quien le horrorizaban las mujeres sabias, decidió frenar los estudios de su hija. Aún así Sonia siguió estudiando por su cuenta con libros de álgebra, y aquello que nunca había estudiado lo fue deduciendo poco a poco.

Sonia a partir de los conocimientos que ya tenía, explicó y analizó por si misma lo que era el concepto de seno tal y como había sido inventado originalmente. Un profesor descubrió las facultades de Sonia, y habló con su padre para recomendarle que facilitara los estudios a su hija. Al cabo de varios años su padre accedió y Sonia comenzó a tomar clases particulares.

Los años de su adolescencia fueron años de rebelión, la época de las grandes revoluciones y manifestaciones de siglo XIX en las que el socialismo feminista iba ganando terreno.

Hasta entonces a las mujeres se les impedía el acceso a la universidad, por lo que se contraían matrimonios de conveniencia. Eso es lo que hizo Sonia para escapar de control paterno y poder salir a estudiar. Así se casó con Vladimir Kovalevsky y se marchó a Heildelberg, donde tampoco la dejaron acceder a la universidad más que como oyente. Pronto atrajo la atención de los profesores que la recomendaron para la universidad de Berlín con Weierstrass, a quien consideraba el mejor matemático de la época. Allí tampoco estaba permitido el acceso de las mujeres a las universidades, pero Weierstrass accedió a trabajar con ella en privado.

Al mismo tiempo que estudiaba comenzaba su trabajo de doctorado. Durante sus años en Berlín escribió tres tesis: dos sobre temas de matemáticas y una tercera sobre astronomía. Más tarde el primero de estos trabajos apareció en una publicación matemática a la que contribuían las mentes más privilegiadas.

Grandes Matemáticos en la Historia

1. Euclides: sus Elementos han sido libro de texo en las escuelas durante más de 2000 años. Compiló en ellos todas las matemáticas conocidas hasta su tiempo (s. IV aC). El famoso V postulado (el postulado de las paralelas) provocó discusiones hasta el siglo XIX, cuando se desarrollaron las geometrías no euclideas, generando infinidad de nuevos resultados imprescindibles para el desarrollo de las matemáticas. 

2. Carl Friedrich Gauss: En su tiempo (s.XVIII - XIX) ya le llamaron el Príncipe de las Matemáticas. Matemático de referencia en su tiempo, capaz de trabajar en todos los campos, fue uno de los matemáticos más completos de la historia. Sus resultados son tan variados, que sería injusto citar sólo unos pocos. 

3. Gottfried Leibniz y Isaac Newton: Los pongo juntos y al mismo nivel, ya que ambos desarrollaron de forma simultánea y independiente (en el s. XVIII) los fundamentos del cálculo diferencial, esencial para el desarrollo de las matemáticas posteriores. Newton es más conocido por sus trabajos en física (Ley de la Gravitación Universal), pero sus aportaciones en matemáticas fueron esenciales. Leibniz es menos conocido por el gran público, pero igualmente brillante en sus trabajos. 

4. Leonhard Euler: El suizo sigue siendo el matemático más prolífico de la historia, el que más teoremas ha enunciado y demostrado. En su tiempo (s. XVIII) ya era una referencia mundial, pero la historia lo recuerda como uno de los más grandes. Sus resultados versan sobre multitud de ramas de las matemáticas, con lo cual sería injusto y poco riguroso citar sólo alguno de ellos. 

5. René Descartes: Sus trabajos en el desarrollo de la geometría analítica y de la notación algebraica moderna, sirvieron para cerrar un período de las matemáticas que duraba des de la Antigua Grecia y dio el pistoletazo de salida a la matemática moderna en el siglo XVII. 

Mención honorífica: David Hilbert y Andrew Wiles: Posiblemente no son dos de los más grandes, pero merecen ser mencionados en esta lista por varias razones: Hilbert es el último matemático "global", autoridad mundial en todas las ramas de la matemática, el último genio capaz de obtener resultados de relevancia en campos de las matemáticas muy alejados entre sí. Para la historia nos dejó, en 1900, la lista de los 23 problemas que, según él, iban a marcar el desarrollo de las matemáticas en el siglo XX. La mayoría de ellos ya están resueltos. Era considerado el matemático más importante de su tiempo ya por sus contemporáneos. Por su parte, Andrew Wiles, matemático anónimo y todavía vivo, saltó a la fama en 1995, después de un primer intento errado, con su demostración del Último Teorema de Fermat, cuya demostración llevaba más de 300 años mostrándose inabordable para los matemáticos más grandes de cada época. Sólo por ello, Wiles merece un apartadado en esta lista. 

Pitágoras (570-495BC), por su teorema y sus contribuciones al conocimiento de los números.

Hypatia (360-415), por su edición de los Elementos de Euclides.

Girolamo Cardano (1501 -1576), por sus contribuciones a la teoría de la probabilidad.

Georg Cantor (1845-1918), por habernos introducido en el paraíso de los números infinitos.

Paul Erdös (1913-96), el segundo matemático más prolífico tras Euler, por sus contribuciones en la teoría de números.

John Horton Conway (nacido en 1937), por sus contribuciones a la teoría de grupos y a la teoría de números.

Grigori Perelman (nacido en 1966), por su demostración de la conjetura de Poincaré.

Terry Tao (nacido en 1975), por sus resultados en teoría de números y muchos otros campos, y por ser probablemente uno de los pocos matemáticos capaces de conseguir una visión global de la disciplina en nuestros días.

Historia del numero pi

Desde que el ser humano desarrolló la capacidad de contar y empezó a explorar las propiedades de esos entes abstractos llamados números se ha sentido fascinado por lo que generaciones de mentes curiosas iban descubriendo. A medida que nuestro conocimiento sobre ellos aumentaba, algunos de ellos llamaban especialmente la atención y, a veces, hasta losmistificabamos. Tenemos al 0, representante de la nada, y que convierte a cualquier multiplicación en sí mismo, el 1, el primero de todo, y también con propiedades únicas, los números primos. Después descubrimos números que no eran enteros y que resultan a veces de las divisiones de dos enteros, los racionales. Los irracionales, que no pueden ser expresados como una fracción de enteros, etc. Pero si hay un número que ha fascinado y que ha hecho correr ríos de tinta, ese es π (pi). Un número que, a pesar de contar con una larga historia, no fue “bautizado” con el nombre con el que lo conocemos hoy hasta el siglo XVIII.

El principio

Pi es el número que se obtiene de dividir la longitud de una circunferencia por su diámetro. No importa el tamaño de la circunferencia. Grande o pequeña, la proporción entre su longitud y su diámetro es siempre la misma. Aunque es probable que esta propiedad fuera conocida con anterioridad, la primeras pruebas que tenemos de su conocimiento son el papiro de Moscú de 1850 a.C. y el papiro Rhind de 1650 a.C. (aunque es una copia de un documento más antiguo. En ellos se tratan varios problemas matemáticos, en algunos de los cuales se aproxima la π como 256/81, lo que se desvía poco más del 0.6% de su valor real. Más o menos por la misma época, los babilonios daban a π el valor de 25/8. En el Antiguo Testamento, escrito más de diez siglos después, Yahvé no se complica mucho la vida y establece por decreto divino que π vale exáctamente 3.
Pero los grandes estudiosos de este número fueron los antiguos griegos, como Anaxágoras, Hipócrates de Quíos o Antifonte de Atenas. Anteriormente, el valor de π se determinaba, casi con toda seguridad, mediante medidas experimentales. Arquímedes fue el primero que sepamos, que realizó una estimación teórica de su valor. Usando polígonos circunscritos e inscritos (el mayor contenido en una circunferencia y el menor que la contiene) determinó que π era mayor que 223/71 y menor que 22/7.
Siguiendo el método de Arquímedes, otros matemáticos consiguieron mejores aproximaciones, y ya en 480, Zu Chongzhi había determinado el valor de π entre 3.1415926 y 3.1415927. Sin embargo, el método de los polígonos implica una gran cantidad de cálculos (recordemos que era a mano, y sin el sistema moderno de numeración), así que no había mucho futuro más allá.

La Ilustración

Hubo que esperar hasta el siglo XVII para que se produjera una nueva revolución en la manera de calcular π con el descubrimiento de las series infinitas, aunque la primera no fuera una serie sinouna multiplicación. Las series infinitas son sumas de un número infinito de términos que tienen algún patrón de sucesión (por ejemplo, todos los números 1/n, con n desde 1 hasta infinito). En muchos casos la suma es finita y se puede calcular por diversos medios. Y resulta que algunas de estas series convergen a π o algún término relacionado con π. Para que una serie converja, es necesario (aunque no suficiente) que, a medida que aumente n, el término a sumar tienda a 0. De esta manera, cuantos más números sumemos, más cerca estaremos del valor real de π. Ahora tenemos dos vías de ataque para obtener un valor más preciso de π. O bien sumamos más números, o buscamos otra serie que tienda más rápido al valor final, de forma que tengamos que sumar menos números.
Con esta nueva aproximación, la precisión del cálculo de π aumentó espectacularmente, y en 1873, William Shanks publicó el resultado de años de trabajo dando el valor de π hasta la 707ª posición. Por suerte no vivió hasta 1945, cuando se descubrió que había cometido un error de cálculo y que todas las cifras a partir de la posición 528 eran incorrectas. A pesar de ello, su aproximación fue la más precisa hasta la llegada de los ordenadores. Esta fue la penúltima revolución en el cálculo de π. Operaciones matemáticas que, a mano podían tardar minutos, ahora se realizaban en fracciones de segundo, y sin apenas posibilidades de error. John Wrench y L. R. Smith consiguieron calcular más de 2000 cifras en 70 horas, con el primer ordenador electrónico. La barrera del millón de cifras se alcanzó en 1973.
La última (de momento) innovación en el cálculo de π fue el descubrimiento de algoritmos iterativos que convergen a π mucho más rápido que las series infinitas, lo que permite alcanzar precisiones mucho mayores con la misma potencia de cálculo. El récord actual está en poco más de 10 billones de cifras correctas. ¿Para qué sirve calcular π con tanta precisión? Teniendo en cuenta que con 39 cifras se puede calcular el volumen del universo conocido con la precisión de un átomo, para nada… de momento.

Algunas curiosidades

Pero el cálculo del valor de π es sólo una pequeña parte de su historia. Han sido sus propiedades las que han hecho que esta constante despierte tanta curiosidad.
Quizá el problema más asociado con π es el famoso problema de la cuadratura del círculo, consistente en encontrar la manera de crear un cuadrado con el mismo área que un círculo dado usando sólo regla y compás. Resolver la cuadratura del círculo obsesionó a generaciones de matemáticos durante veinticuatro siglos hasta que von Lindemann probó que π es un número trascendente (no es solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales) y por tanto la cuadratura del círculo es imposible.
Hasta 1761 no se pudo probar que π es irracional, o sea, no existen dos números naturales tales que a/b=π, y su trascendencia no fue probada hasta 1882, sin embargo todavía no se sabe si π+e, π/e o lnπ (e es otro número irracional y trascendente) son irracionales. Aparece en multitud de fórmulas que no están relacionadas con círculos. Es parte de la constante de normalización de la función normal, probablemente la más usada en estadística. Como ya hemos comentado antes, aparece en la solución de multitud de series y multiplicaciones infinitas y es fundamental en el estudio de los números complejos. En Física se le puede encontrar (dependiendo del sistema de unidades usado) en la constante cosmológica (el mayor error de Albert Einstein) o en la constante de permeabilidad magnética del vacío.
En cualquier base (decimal, binaria…), las cifras decimales de π pasan todas las pruebas de aleatoriedad, no se observa ningún patrón ni tendencia. A través de la función zeta de Riemann π se encuentra estrechamente relacionado con los números primos.
Una larga historia para un número que seguro que todavía guarda muchas sorpresas.

Vídeos de geometría Euclidiana

geometria euclidiana

¿QUE ES LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA?

La geometría euclidiana es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones los matemáticos usan el término para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares.Sin embargo, con frecuencia, geometría euclídea es sinónimo de geometría plana y de varios conceptos, tales como el punto, la recta, la superficie y mediante comparación de ángulos o longitudes.
El sistema de geometría fue desarrollado por Euclides (siglo III a.C.) en su libro Elementos. El contenido básico de esta obra está compuesto por: Teoremas que son deducidos a partir de una serie de axiomas, postulados y definiciones.

1.- Geometría Euclidiana

Es una ciencia accionámica, sus axiomas son:

• El punto es la intersección de dos rectas y no tiene dimensión (no se puede representar)
• La recta es la intersección de dos planos, es infinita, tiene una sola dimensión, es una dirección en el espacio que tiene dos sentidos. La recta es infinita, si le hacemos un solo corte, tenemos una semirrecta. Si la cortamos por dos sitios diferentes será un segmento. Una recta y todas sus paralelas son lo mismo.

Recta

Semirrecta

Segmento

• El plano determina una posición en el espacio, tiene dos dimensiones (longitud y anchura). Para definirlo se necesitan tres puntos no alineados. Un plano en todos sus paralelos son la misma cosa porque no tienen altura.

A • • B

C •

“ las rectas paralelas se cortan en un punto impropio (en el infinito)”

2.- Teoría del Modelo

Se fundamenta en dos leyes:

La semejanza un modelo con la misma forma pero con diferente tamaño.

La equivalencia se considera equivalente a dos cosas distintas a las que se les asigna un mismo valor.

Al ajuntar las dos definiciones tenemos la teoría del modelo. Algo de distinto tamaño, de diferente forma pero con el mismo valor. Tomamos como ejemplo el dibujo, la maqueta y la construcción de una casa.

Todos los sistemas son:

• La proyección de las sombras
• Los planos donde se encuentra la sombra
• Y una combinación de sombras que crean la REVERSIBILIDAD

todos los sistemas deben ser reversibles.

3.- Las Proyecciones Ortogonales (perpendiculares)

Todas estas rectas tienen una misma proyección.

Las proyecciones son mas pequeñas que el objeto excepto cuando las proyecciones son paralelas al objeto.

4.- Las Proyecciones Cónicas

19-2-04

5.- Sistema acotado

Se centra en las proyecciones cilíndricas ortogonales. Para proyectar cualquier punto se necesita un rayo proyectante perpendicular al plano. El observador tiene que enfocar cada punto por lo cual este debe ser móvil. Este sistema necesita de un plano horizontal. Para encontrar el objeto de la sombra (reversibilidad) que se encuentra en el modulo, debemos dividirlo en módulos.

Los grados de los ángulos son los sexagesimales. 1º = 60 minutos

Y un grado son 360 partes de una circunferencia.

El modulo es la representación

Entre su altitud y su pendiente.

B - D - F

A - C - E

Plano de proyección

Rayo Proyectante

Objetos

Ojo

Objeto

180º

90º

270º

0º - 360º